Ecuacion general de la parabola con vertice en el origen

¿Cómo se encuentra la ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco 0, -2?

Para trabajar con parábolas en el plano de coordenadas, consideramos dos casos: las que tienen un vértice en el origen y las que tienen un vértice en un punto distinto del origen. Empezamos por las primeras. Sea [latex]izquierdax,y
ight[/latex] es un punto de la parábola con vértice [latex]left0,0
ight[/latex], foco [latex]left0,p
ight[/latex], y la directriz [latex]y= -p[/latex] como se muestra en la figura 4. La distancia [latex]d[/latex] desde el punto [latex]izquierdax,y
ight[/latex] al punto [latex]leftx,-p
ight[/latex] en la directriz es la diferencia de los valores de y: [latex]d=yp[/latex]. La distancia al foco [latex]izquierda0,p
ight[/latex] al punto [latex]leftx,y
ight[/latex] también es igual a [latex]d[/latex] y se puede expresar mediante la fórmula de la distancia [latex]egin{align}d&=sqrt{{izquierdax – 0
ight}^{2}{lefty-p
ight}^{2}} \ &=cuadrado{x}^{2}{izquierda-p
ight}^{2}} end{align}[/latex] Las ecuaciones de las parábolas con vértice [latex]left0,0
ight[/latex] son [latex]{y}^{2}=4px[/latex] cuando el eje x es el eje de simetría y [latex]{x}^{2}=4py[/latex] cuando el eje y es el eje de simetría. Estas formas estándar se dan a continuación, junto con sus gráficos generales y características clave. La siguiente tabla resume las características estándar de las parábolas con un vértice en el origen.

Ya sabes que la gráfica de una parábola tiene la gráfica padre \ y=x^{2}, con un vértice de 0, 0 y un eje de simetría de \ x = 0. Una parábola también puede definirse de otra manera. Tiene una propiedad tal que cualquier punto de ella es equidistante de otro punto, llamado foco, y de una recta llamada directriz.

Hasta ahora, hemos estado acostumbrados a ver la ecuación de una parábola como \ y=a x^{2}. En este concepto, reescribiremos la ecuación para que quede como \ x^{2}=4 p y donde \ p se utiliza para encontrar el foco y la directriz. También dibujaremos la parábola con una orientación horizontal, de forma que la ecuación será \{2}=4 p x.

Recuerda que la forma del vértice de una parábola es y = ax – h2 k donde h, k es el vértice de la parábola. Si dejamos que el coeficiente de x2 o a = y realizamos algunas maniobras algebraicas, podemos obtener la siguiente ecuación.

¿Cuál es la ecuación de una parábola con vértice en el origen y directriz x = 4,75?

Como el ejemplo de la derecha es una traslación de la gráfica anterior, la relación entre la parábola y su foco y la directriz sigue siendo la misma p = ¼.. Así, con vértice en 2,-3, tenemos: x – 22 = 4¼ y -3 x – 22 = y 3 El foco está en 2,-3¼ o 2,-2¾ y la directriz es y = -3-¼ o y = -3¼ Como el ejemplo de la derecha es una traslación de la gráfica anterior, la relación entre la parábola y su foco y directriz sigue siendo la misma. En el ejemplo de la derecha, y – 12 = 4¼ x – -2 y – 12 = x 2 El vértice es -2,1, el foco es -1¾,1 y la directriz es y = -2¼.

Dada la parábola, x – 32 = -8y – 2, indique si la parábola se abre hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda, e indique las coordenadas del vértice, del foco y la ecuación de la directriz. La ecuación general de la parábola vertical es y-k^{2}=4px-h La ecuación de una parábola con vértice en el origen y directriz x = 4,75 es y^{2}=-19x. Para trabajar con parábolas en el plano de coordenadas, consideramos dos casos: las que tienen el vértice en el origen y las que tienen el vértice en un punto distinto del origen.

Empezamos por las primeras. Sea un punto de la parábola con el vértice en el foco y la directriz como se muestra en la figura. La distancia de un punto a otro de la directriz es la diferencia de los valores y:La distancia del foco al punto también es igual y se puede expresar mediante la fórmula de la distancia.

Igualemos las dos expresiones y resolvamos para obtener la ecuación de la parábola. Las ecuaciones de las parábolas con vértice cuando el eje x es el eje de simetría y cuando el eje y es el eje de simetría. Estas formas estándar se dan a continuación, junto con sus gráficos generales y características clave.

Si tienes la ecuación de una parábola en forma de vértice y=a x-h 2 k , entonces el vértice está en h,k y el foco es h,k 1 4a. Observa que aquí estamos trabajando con una parábola con eje de simetría vertical, por lo que la coordenada x del foco es la misma que la coordenada x del vértice